Приставка "arc" в тригонометрических функциях обозначает обратные тригонометрические функции, которые возвращают угол по значению тригонометрической функции.
Содержание
Основное определение arc-функций
Основные arc-функции
| Функция | Обозначение | Определение |
| Арксинус | arcsin(x) или sin⁻¹(x) | Угол, синус которого равен x |
| Арккосинус | arccos(x) или cos⁻¹(x) | Угол, косинус которого равен x |
| Арктангенс | arctan(x) или tan⁻¹(x) | Угол, тангенс которого равен x |
Свойства arc-функций
Области определения и значений
- arcsin(x): x ∈ [-1, 1], результат ∈ [-π/2, π/2]
- arccos(x): x ∈ [-1, 1], результат ∈ [0, π]
- arctan(x): x ∈ ℝ, результат ∈ (-π/2, π/2)
Основные соотношения
- arcsin(x) + arccos(x) = π/2
- arctan(x) + arctan(1/x) = π/2 (для x > 0)
- sin(arcsin(x)) = x
- arcsin(sin(x)) = x (только для x ∈ [-π/2, π/2])
Графики arc-функций
| Функция | Особенности графика |
| arcsin(x) | Монотонно возрастает, проходит через (0,0) |
| arccos(x) | Монотонно убывает, проходит через (1,0) и (-1,π) |
| arctan(x) | Монотонно возрастает, горизонтальные асимптоты y=±π/2 |
Применение arc-функций
- Решение тригонометрических уравнений
- Вычисление углов в геометрии
- Компьютерная графика и анимация
- Физические расчеты (механика, оптика)
История и альтернативные обозначения
Приставка "arc" происходит от латинского "arcus" (дуга), так как значение функции соответствует длине дуги единичной окружности. В некоторых источниках используются обозначения с показателем -1 (sin⁻¹, cos⁻¹, tan⁻¹).
Важные особенности вычислений
- Калькуляторы возвращают главные значения arc-функций
- Для получения всех решений уравнения требуются дополнительные преобразования
- При работе с комплексными числами определения расширяются
